ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ ( De Moivre's Theorem)


wisanu's picture

MathJax TeX Test Page


ทฤษฎีบทเดอร์มัวร์ ( De Moivre's Theorem)

วันนี้ผมจะนำเสนอการนำทฤษฎีบทของเดอร์มัวร์ไปใช้งาน ซึ่งทฤษฏีบทนี้นำไปใช้งานเมื่อเราต้องการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งต้องการยกกำลังครั้งละมากๆ เช่น ยกกำลังร้อย ยกกำลังสิบ ก็จะนำทฤษฏีบทนี้มาช่วยในการยกกำลัง เพราะถ้าเรายกกำลังแบบวิธีธรรมดาทั่วไปคงทำไม่ได้ ฉนั้นเรามาดูว่าทฤษฏีบทนี้มีใจความสำคัญว่าอย่างไร ไปดูกันเลยคับ....

ทฤษฏีบทของเดอร์มัวร์ (De Moivre's Theorem)

ถ้า \(z=r(cos\theta+isin\theta)\) เป็นจำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว และ \( n \in \mathbb{I}\) จะได้ว่า
\(z^{n}=r^{n}\left(cos(n\theta)+isin(n\theta)\right)\)
มาดูตัวอย่างการนำทฤษฎีบทนี้ไปใช้กันเลยคับ บอกก่อนน่ะพวกสอบโควต้าชอบออกพวกนี้เหมือนกันน่ะคับไม่ยาก ง่ายๆ

ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจำนวนเชิงซ้อนต่อไปนี้ในรูป \(x+yi \quad เมื่อ\quad x,y\in \mathbb{R}\)

1.1) \(z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{100}\)
จะเห็นว่าข้อนี้ถ้าเราไม่ใช้ทฤษฎีบทของท่านเดอร์มัวร์คงทำไม่ได้แน่เพราะยกกำลังหนึ่งร้อย คงไม่มีใครมานั่งจับคูณกันจนครบร้อย ฉนั้นใช้ทฤษฏีบทของท่านเดอร์มัวร์ คับ มาดูกันเลยว่าใช้ยังไง

ขั้นตอนแรกทำ \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\) ให้อยู่ในรูปเชิงขั้วก่อนส่วนทำยังไงนั้นไปอ่านเพิ่มเติมได้ที่ลิงค์นี้น่ะ จำนวนเชิงซ้อนในรูปเชิงขั้ว
จะเห็นว่า \(x=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad y=\frac{1}{2}\)
\(r=\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{2}}=1\)
หา \(\theta\) จากความสัมพันธ์ \(tan\theta=\frac{y}{x}\) จะได้
\(tan\theta=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ดังนั้นจะได้ว่า \(\theta=30^{\circ}\)
นั่นก็คือ \(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\) เขียนในรูปเชิงขั้วได้คือ \(1(cos30^{\circ}+isin30^{\circ})\)

ขั้นตอนที่สอง เป็นขั้นตอนของการใช้ทฤษฏีบทของท่านเดอร์มัวร์คับ จะได้ประการนี้
\(z=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^{100}\)
\(z=\left[1(cos30^{\circ}+isin30^{\circ})\right]^{100}\)
\(z=1^{100}(cos(100)30^{\circ}+isin(100)30^{\circ})\)
\(z=1(cos3000^{\circ}+isin3000^{\circ})\) ทำ 3000 องศาให้อยู่ในรูปมุนเรเดียนจะได้ง่ายขึ้น
\(z=(cos\frac{50\pi}{3}+isin\frac{50\pi}{3})\)
\(z=(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i) \quad Ans\) เสร็จแล้วคับ
นี่คือตัวอย่างการนำทฤษฏีบทเดอร์มัวร์ไปใช้คับไม่ยากแต่ก็ต้องใช้ความรู้ตรีโกณมิติด้วยฉนั้นพยายายามอย่าทิ้งเรือ่งที่เราได้เรียนไปแล้่ว วันนี้เอาแค่หนึ่งข้อก่อน เดี่ยวข้อต่อไปเป็นวิดีโอครับ อย่างไรก็อย่างลืมทบทวนเรื่องตรีโกณมิติด้วยคับ....
{jcomments on}

สร้างโดย: 
ครูวิษณุ